Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp | SGK Toán lớp 11

1. Hoán vị

Cho \(n\) thành phần không giống nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi cơ hội chuẩn bị trật tự của \(n\) thành phần vẫn mang lại, tuy nhiên trong cơ từng thành phần xuất hiện trúng một thứ tự, được gọi là 1 thiến của \(n\) thành phần cơ.

Bạn đang xem: Lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp | SGK Toán lớp 11

Định lí

Số những thiến của \(n\) thành phần không giống nhau vẫn mang lại (\(n  ≥ 1\)) được kí hiệu là \(P_n\) và bằng:

\(P_n = n(n - 1)(n - 2)...2 . 1 = n!\)

Ví dụ:

Tính số cơ hội xếp \(6\) chúng ta học viên trở thành một mặt hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cơ hội xếp \(6\) chúng ta học viên trở thành một mặt hàng dọc là 1 thiến của \(6\) thành phần.

Vậy số cơ hội xếp \(6\) chúng ta học viên trở thành một mặt hàng dọc là \({P_6} = 6! = 720\).

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho giao hội \(A\) bao gồm \(n\) thành phần \(\left( {n \ge 1} \right)\).

Kết trái khoáy của việc lấy \(k\) thành phần không giống nhau kể từ \(n\) thành phần của giao hội \(A\) và bố trí bọn chúng theo đuổi một trật tự này này được gọi là 1 chỉnh ăn ý chập \(k\) của \(n\) phần tử vẫn mang lại.

Chú ý

Mỗi thiến của n thành phần không giống nhau vẫn mang lại đó là một chỉnh ăn ý chập \(n\) của \(n\) thành phần cơ.

Định lí

Số chỉnh ăn ý chập \(k\) của \(n\) thành phần không giống nhau vẫn mang lại được kí hiệu là \(A_n^k\) và bằng

\(A_n^k = n(n – 1)…(n – k + 1) =\frac{n!}{(n - k)!} \) \((1 ≤ k ≤ n)\)

Với quy ước \(0! = 1\).

Ví dụ:

Có từng nào số bất ngờ bao gồm \(4\) chữ số không giống nhau được lập trở thành kể từ những chữ số \(1,2,3,4,5,6,7\)?

Hướng dẫn:

Mỗi số bất ngờ bao gồm \(4\) chữ số không giống nhau được lập bằng phương pháp lấy \(4\) chữ số kể từ luyện \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) và xếp bọn chúng theo đuổi một trật tự chắc chắn.

Mỗi số vì vậy được xem như là một chỉnh ăn ý chập \(4\) của \(7\) thành phần.

Vậy số những số cần thiết lần là \(A_7^4 = 840\) số.

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho \(n\) thành phần không giống nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi luyện con cái bao gồm \(k\) thành phần không giống nhau (không phân biệt loại tự) của giao hội \(n\) thành phần vẫn mang lại (\(0 ≤ k ≤ n\)) được gọi là 1 tổ hợp chập \(k\) của \(n\) thành phần vẫn mang lại (với quy ước tổ hợp chập \(0\) của n thành phần ngẫu nhiên là luyện rỗng).

Định lí

Số những tổ hợp chập \(k\) của \(n\) thành phần không giống nhau vẫn mang lại được kí hiệu là \(C_n^k\) và bằng

\(C_n^k  = \frac{n!}{k! (n - k)!}\) = \(\frac{A^k_{n}}{k!}\), (\(0 ≤ k ≤ n\))

Ví dụ:

Một bàn học viên đem \(3\) nam giới và \(2\) nữ giới. Có từng nào cơ hội lựa chọn ra \(2\) chúng ta nhằm thực hiện trực nhật?

Hướng dẫn:

Mỗi cơ hội lựa chọn ra \(2\) chúng ta nhằm thực hiện trực nhật là 1 tổ hợp chập \(2\) của \(5\) thành phần.

Vậy số cơ hội lựa chọn là: \(C_5^2 = 10\) (cách)

Định lí

Với từng \(n ≥ 1; 0 ≤ k ≤ n\), tao có:

a) \(C_n^k  =  C_n^{n-k}\)

b) \(C_n^k  +  C_n^{k+1}\) = \(C_{n+1}^{k+1}\).

4. Một số dạng toán thông thường gặp

Dạng 1: Giải phương trình, hệ phương trình thiến, chỉnh ăn ý, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng những công thức tính số thiến, chỉnh ăn ý, tổ hợp nhằm thay đổi phương trình.

- Kiểm tra ĐK của nghiệm và Kết luận.

Dạng 2: Giải bất phương trình thiến, chỉnh ăn ý, tổ hợp

Phương pháp chung:

- Sử dụng những công thức tính số thiến, chỉnh ăn ý, tổ hợp nhằm thay đổi bất phương trình.

- Kiểm tra ĐK của nghiệm và Kết luận.

 Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ