Định thức (Determinants)

(Bài này tiếp cận định nghĩa quyết định thức Theo phong cách ko chủ yếu quy nhằm mục đích tách nhắc đến định nghĩa luật lệ thế, vốn liếng là 1 trong những định nghĩa khá khó khăn hiểu so với những ngành phần mềm, ko thường xuyên Toán)

I. Các định nghĩa cơ phiên bản về quyết định thức:

Bạn đang xem: Định thức (Determinants)

1. Định nghĩa quyết định thức: Cho $A = (a_{ij}) \in M_n(K)$ . Định thức yêu tinh trận A (ký hiệu det A hoặc |A|) là một độ quý hiếm được xem bởi vì công thức :

$det(A) = |A| = a_{11}A_{11} + a_{12}.A_{12} + ... + a_{1n}.A_{1n}$

trong đó: $A_{ik} = (-1)^{i+k} .det(M_{ik}) , M_{ik}$ là yêu tinh trận vuông cung cấp n – 1 có được kể từ yêu tinh trận A bằng phương pháp vứt đi loại loại i và cột loại k. Đại lượng $A_{ik}$ được gọi là phần bù đại số của $a_{ik}$

2. Nhận xét:

– $A = (a_{11}) \Rightarrow det A = a_{11}$

– $A \in M_2(K):$

$detA = { \left | \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right | } = a. (-1)^{1+1}.d + b.(-1)^{1+2}.c = ad - bc$

– $A \in M_3(K):$

$detA = { \left | \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \right | } = a.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{cc} e & f \\ h & i \\ \end{array} \right | } + b.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{cc} d & f \\ g & i \\ \end{array} \right |} \\+c(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{cc} d & e \\ g & h \\ \end{array} \right|} = a(ei-hf) - b(di-fg)+c(dh-eg) \\ = (aei+bfg+cdh)-(ahf+bdi+ceg)$

– Từ sản phẩm bên trên tớ đem quy tắc Sarrus nhằm tính quyết định thức cung cấp 3 như sau:

: Quy tắc Sarrus

Ví dụ 1:

$detA = { \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right | } = 2.1.2+3.2.1+3.4.1-1.1.1-2.4.2-3.3.2 \\ = -13$

det1

Từ quy tắc Sarrus bên trên, tất cả chúng ta còn có một quy tắc không giống nhằm tính thời gian nhanh quyết định thức cung cấp 3:

– Ghép thêm thắt cột loại nhất và cột loại nhị vô phía bên phải quyết định thức rồi nhân những thành phần bên trên những lối chéo cánh như quy tắc thể hiện nay bên trên hình.

– $A \in M_4(K)$ : không tồn tại quy tắc tính như quyết định thức cung cấp 2 và quyết định thức cung cấp 3, tuy nhiên cần người sử dụng khái niệm nhằm tính thẳng.

Ví dụ 2:

Xem thêm: Download Autocad 2018 Full crac'k Vĩnh Viễn – Link google drive + hướng dẫn cài đặt by chuyenvienit | Viết bởi Vi Tính Tin Học Ngôi Sao

$detA = { \left | \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 2 &-1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }$

$= 1.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } + 3.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } \\ +0.(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }+2.(-1)^{1+4}{ \left | \begin{array}{ccc} 4& 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{array} \right | }$

(các các bạn tính tiếp nhé)

3. Định lý:

Với yêu tinh trận vuông cung cấp n $n \ge 2$ tớ rất có thể khai triển quyết định thức của chính nó theo đòi 1 loại ngẫu nhiên hoặc 1 cột ngẫu nhiên theo đòi những công thức sau:

– Theo loại i: $det(A) = |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}.A_{i2} + ... + a_{in}.A_{in}$

– Theo cột j: $det(A) = |A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}.A_{2j} + ... + a_{nj}.A_{nj}$

Với $A_{ij}$ là phần bù đại số của phần tử $a_{ij}$ được xác lập như trên

Ví dụ: Tính

$detA = { \left | \begin{array}{cccc} 2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right | }$

Nhận thấy loại 2 có rất nhiều thành phần bởi vì 0 nhất nến tớ khai triển theo đòi loại 2. Ta có:

$detA = 2.(-1)^{2+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right| } + 1.(-1)^{2+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right| }$