Cách tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và Bài tập vận dụng - Toán 12 Chuyên đề

Tìm vẹn toàn hàm của hàm số là kỹ năng nền canh ty những em đơn giản tiếp nhận nội dung về tích phân, và vẹn toàn hàm - tích phân là một trong trong mỗi dạng toàn thông thường đem nhập đề đua chất lượng nghiệp trung học phổ thông vương quốc thường niên.

Vậy tìm nguyên hàm của hàm số f(x) như vậy nào? Bài ghi chép này tất cả chúng ta tiếp tục nằm trong mò mẫm hiểu cách thức tìm nguyên hàm của hàm số tiếp sau đó áp dụng nhập những bài bác tập luyện minh họa mò mẫm vẹn toàn hàm nhằm những em dễ dàng nắm bắt rộng lớn. Để thuận tiện việc giải những bài bác tập luyện mò mẫm vẹn toàn hàm những em chú ý một vài công thức tính vẹn toàn hàm sau:

Bạn đang xem: Cách tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và Bài tập vận dụng - Toán 12 Chuyên đề

I. Công thức vẹn toàn hàm của những hàm sơ cấp

$1.\: \int dx=x+C$

$2.\: \int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C.\: (\alpha \neq 1)$

$3.\: \int \frac{dx}{x}=ln|x|+C$

$4.\: \int e^{x}dx=e^{x}+C$

$5.\: \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C$

$6.\: \int cosxdx=sinx+C$

$7.\: \int sinxdx=-cosx+C$

$8.\: \int \frac{dx}{cos^2x}=tanx+C$

$9.\: \int \frac{dx}{sin^2x}=-cotx+C$

II. Công thức vẹn toàn hàm của những hàm hợp

$1.\: \int du=u+C$

$2.\: \int u^\alpha du=\frac{u^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C.\: (\alpha \neq 1)$

$3.\: \int \frac{d}{u}=ln|u|+C,\: (u=u(x)\neq 0)$

$4.\: \int e^{u}du=e^{u}+C$

$5.\: \int a^{u}du=\frac{a^{u}}{lna}+C,\: (0<a\neq 1)$

$6.\: \int cosudu=sinu+C$

$7.\: \int sinudu=-cosu+C$

$8.\: \int \frac{du}{cos^2u}=tanu+C$

$9.\: \int \frac{du}{sin^2u}=-cotu+C$

> Lưu ý: trong những công thức bên trên thì ham u = u(x) là hàm theo dõi vươn lên là x.

III. Bài tập luyện Tìm vẹn toàn hàm của hàm f(x)

* Phương pháp mò mẫm vẹn toàn hàm của hàm f(x)

- Phân tích f(x) trở nên tổng (hiệu) của những hàm số sơ cung cấp cơ bạn dạng (có công thức tính vẹn toàn hàm như ở trên), tính vẹn toàn hàm của từng hàm số rồi suy rời khỏi thành quả.

- Dùng những cách thức thay đổi vươn lên là số hoặc cách thức vẹn toàn hàm từng phần

>> Xem thêm: Cách tính vẹn toàn hàm vì chưng cách thức thay đổi vươn lên là số

>> Xem thêm: Cách tính vẹn toàn hàm vì chưng cách thức vẹn toàn hàm từng phần

* Bài tập luyện minh họa tìm nguyên hàm của hàm số f(x)

* Bài tập luyện 1: Tìm chúng ta vẹn toàn hàm của:

$a)\: f(x)=\frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}$ $b)\: g(x)=\frac{cos2x}{sinx+cosx}$

$c)\: h(x)=\frac{1}{tan^5x}$ $d)\: u(x)=\frac{1}{sin^2x.cos^2x}$

* Lời giải:

a) Ta có:

$\dpi{100} \int f(x)dx=\int \frac{cosx-sinx}{sinx+cosx}dx$ $=\int \frac{d(sinx+cosx)}{sinx+cosx}=ln|sinx+cosx|+C$

> Lưu ý: d(u) = u'(x)dx.

Ví dụ: d(sinx + cosx) = (sinx + cosx)'dx = (cosx - sinx)dx.

b) Ta có:

$\int g(x)dx=\int \frac{cos2x}{sinx+cosx}dx=\int \frac{cos^2x-sin^2x}{sinx+cosx}dx$

$=\int \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{sinx+cosx}dx$ $=\int (cosx-sinx)dx=sinx+cosx+C$

c) Ta có:

$\int h(x)dx=\int \frac{1}{tan^5x}dx=\int cot^5xdx=\int \frac{cos^5x}{sin^5x}dx$

$=\int \frac{cos^4x.cosx}{sin^5x}dx=\int \frac{(1-sin^2x)^2}{sin^5x}d(sinx)$

$=\int \left ( \frac{1}{sinx}-\frac{2}{sin^3x}+\frac{1}{sin^5x} \right )d(sinx)$ $=ln|sinx|+\frac{1}{sin^2x}-\frac{1}{4sin^4x}+C$

d) Ta có:

$\int u(x)dx=\int \frac{1}{sin^x.cos^x}dx=\int \frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x.cos^2x}dx$

$=\int \left (\frac{sin^2x}{sin^2x.cos^2x}+\frac{cos^2x}{sin^2x.cos^2x} \right )dx=\int \left ( \frac{1}{cos^2x}+\frac{1}{sin^2x} \right )dx$

$=\int \frac{1}{cos^2x}dx+\int \frac{1}{sin^2x}dx=tanx-cotx+C$

> Lưu ý: Cách thức làm phía trên rất có thể dông dài với một vài các bạn, tuy vậy HayHocHoi mong ước chúng ta nắm rõ từng bước biến hóa vừa phải nhằm ôn lại công thức vừa phải đơn giản nắm rõ rộng lớn. Sau Khi vẫn thuần thục những công thức bước thực hiện, những em rất có thể thực hiện gọn gàng rộng lớn nhất là Khi thực hiện trắc nghiệm.

* Bài tập luyện 2: Tìm vẹn toàn hàm những hàm sau:

$a)\: f(x)=x^{2}.\sqrt{1-x^3}dx$ $b)\: g(x)=xsinx$

Xem thêm: Tổng Hợp Mẫu Sơ Đồ Tư Duy Đẹp Và Độc Đáo - Zen Mind Map

* Lời giải:

a) Ta có: $\int f(x)dx=\int x^{2}.\sqrt{1-x^3}dx$

- Ta dùng cách thức thay đổi vươn lên là số:

Đặt u = 1 - x³ ⇒ du = -3x²dx ⇒ x²dx = -(1/3)du. Khi cơ tao được:

$\int \sqrt{1-x^3}.x^2dx=-\frac{1}{3}\int u^{\frac{1}{2}}du=-\frac{1}{3}.\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$

$=-\frac{2}{9}(1-x^3)\sqrt{1-x^3}+C$

b) Ta có: $\int g(x)dx=\int xsinxdx$

- Ta dùng cách thức vẹn toàn hàm từng phần:

Đặt u = x; dv = sinxdx thì du = dx; v = -cosx. Khi cơ theo dõi công thức vẹn toàn hàm:

$\int udv=uv-\int vdu$

Thì tao được:

$\int xsinxdx=-xcosx+\int cosxdx=-xcosx + sinx+C$

* Bài tập luyện 3: Tìm vẹn toàn hàm của những hàm số f(x) sau:

$a)\: f(x)=\frac{cos^4x-1}{cos^2x}$ $b)\: f(x)=xe^x$

* Lời giải:

a) Ta có:

$\int f(x)dx=\int \frac{cos^4x-1}{cos^2x}dx=\int \left ( cos^2x-\frac{1}{cos^2x} \right )dx$

$=\int \left ( \frac{1+cos2x}{2}-\frac{1}{cos^2x} \right )dx=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int cos2xdx-\int \frac{dx}{cos^2x}$

$=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}sin2x-tanx+C$

b) Ta có:

$\int f(x)dx=\int xe^xdx$

- Dùng cách thức vẹn toàn hàm từng phần

Đặt u = x ⇒ du = dx; dv = e^xdx ⇒ v = e^x Khi cơ áp dụng công thức vẹn toàn hàm từng phần tao được:

$\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C$

* Bài tập luyện 4. Cho f(x) = cos⁴x - sin⁴x. Tìm vẹn toàn hàm của hàm F(x) hiểu được F(π/6) = 0.

* Lời giải:

- Ta có: f(x) = cos⁴x - sin⁴x = (cos²x - sin²x)(cos²x + sin²x) = cos²x - sin²x = cos2x

Do đó: $F(x)=\int f(x)dx=\int cos2xdx=\frac{1}{2}sin2x+C$

$F\left ( \frac{\pi }{6} \right )=0\Leftrightarrow \frac{1}{2}sin\left ( \frac{\pi }{3} \right )+C=0\Rightarrow C=-\frac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy $F(x)=\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{4}$

* Bài tập luyện 5: Cho hàm $f(x)=\frac{1}{\sqrt{5x+3}-\sqrt{5x+1}}$ . Tìm vẹn toàn hàm F(x) biết F(0) = 0.

* Lời giải:

- Ta nhân tử và kiểu mẫu của f(x) với $\sqrt{5x+3}+\sqrt{5x+1}$ ta được

$f(x)=\frac{\sqrt{5x+3}+\sqrt{5x+1}}{2}=\frac{1}{2}\left [ (5x+3)^{\frac{1}{2}}+(5x+1)^{\frac{1}{2}} \right ]$

Do đó: $F(x)=\int f(x)dx=f(x)=\frac{1}{2}\int \left [ (5x+3)^{\frac{1}{2}}+(5x+1)^{\frac{1}{2}} \right ]dx$

$\dpi{100} =\frac{1}{15}(5x+3)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{15}(5x+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$F(0)=0\Leftrightarrow \frac{1}{15}(5.0+3)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{15}(5.0+1)^{\frac{3}{2}}+C=0$ $\Rightarrow C=-\frac{1+3\sqrt{3}}{15}$

Vậy $F(x) =\frac{1}{15}(5x+3)^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{15}(5x+1)^{\frac{3}{2}}-\frac{1+3\sqrt{3}}{15}$

> Nhận xét: Như vậy với bài bác tập luyện 4 và bài bác tập luyện 5 là một trong dạng không giống với những bài bác 1,2,3. Tại bài bác tập luyện 4,5 đòi hỏi tất cả chúng ta tìm nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa ĐK mang đến trước. Việc này tất cả chúng ta cũng thực hiện tương tự động là mò mẫm chúng ta vẹn toàn hàm F(x) trước. Sau cơ phụ thuộc đòi hỏi vấn đề (giả thiết) nhằm suy rời khỏi độ quý hiếm của C.

IV. Bài tập luyện tìm nguyên hàm của hàm số f(x) học viên tự động làm

* Bài tập luyện 1: Tìm vẹn toàn hàm của hàm $f(x)=\frac{(x-1)(x+\sqrt{x}+1)}{1+\sqrt{x}}$

* Đáp án bài bác tập luyện 1:

$F(x)=\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}-x+C$

* Bài tập luyện 2: Cho $\int f(x)dx=\frac{1}{(x+1)^2}+C$ , mò mẫm f(x).

* Đáp án bài bác tập luyện 2:

$F(x)=\int f(x)dx=\frac{1}{(x+1)^2}+C=(x+1)^{-2}+C$

$\Rightarrow F'(x)=-2(x+1)^{-3}$ nên $f(x)=F'(x)=\frac{-2}{(x+1)^3}$

* Bài tập luyện 3: Cho $\int f(x)dx=e^{x+lnx}+C$ . Tìm f(x)

Xem thêm: Chỉ số Creatinin thấp cho biết điều gì?

* Đáp án bài bác 3:

f(x)=F'(x)=(x+1)e^x

Như vậy, để tìm ra vẹn toàn hàm của hàm f(x) những em cần thiết áp dụng những luật lệ biến hóa nằm trong cách thức vẹn toàn hàm từng phần hoặc thay đổi vươn lên là số. Việc biến hóa nhằm giải những bài bác tập luyện luôn luôn yên cầu những em cần ghi nhớ nhiều công thức kể từ đạo hàm cho tới vẹn toàn hàm. Vì vậy nhằm ghi ghi nhớ những công thức ko gì không giống là những em cần thiết thực hiện nhiều bài bác tập luyện rộng lớn, những em hãy nỗ lực nhằm học tập chất lượng nhé.

Cách dùng kem dưỡng trắng da hazeline

Hazeline là sản phẩm dưỡng trắng da có tiếng từ lâu. Hầu như bất cứ ai từng dùng mỹ phẩm cũng đã nghe tới thương hiệu này.

Cách Bật Chế Độ Tối Trên Facebook Mới Nhất 2023 | Nguyễn Kim | Nguyễn Kim Blog

Những cách bật chế độ tối trên Facebook điện thoại, máy tính bảng, laptop đơn giản, dễ làm, mới nhất 2022. Cùng Nguyễn Kim tìm hiểu trong bài viết dưới đây nhé!

Nguyên tử khối trung bình của clo là 35,5. Clo trong tự nhiên có 2 đồng vị (Miễn phí)

Nguyên tử khối trung bình của clo là 35,5. Clo trong tự nhiên có 2 đồng vị là 35Cl và 37Cl. Phần trăm về khối lượng của C1737l chứa trong HClO4 (với hiđro là đồng vị H11, oxi là đồng vị O816) là giá trị nào sau đây A. 9,40%. B. 8,95%. C. 9,67%. D. 9,20%.

Theo quốc lộ 1A, tỉnh nào dài nhất Việt Nam? Người dân đi suốt cũng chưa chắc đã biết!

Đâu là tỉnh dài nhất tính theo đường quốc lộ 1A? Đoạn đường này dài đến 178,5km - đoạn đường dài nhất mà quốc lộ 1A này đi qua 1 tỉnh thành.

Học tiếng Anh qua Video song ngữ - Toomva.com

Toomva.com là website học tiếng Anh online qua video phụ đề song ngữ Anh - Việt, có hàng trăm ngàn video, clip phong phú mọi lĩnh vực, ngành nghề. Đến nay Toomva.com là địa chỉ được giới trẻ yêu thích nhất.

Cách tìm nguyên hàm của hàm số f(x) và Bài tập vận dụng - Toán 12 Chuyên đề

BÀI VIẾT NỔI BẬT

Cách dùng kem dưỡng trắng da hazeline

Cách Bật Chế Độ Tối Trên Facebook Mới Nhất 2023 | Nguyễn Kim | Nguyễn Kim Blog

Nguyên tử khối trung bình của clo là 35,5. Clo trong tự nhiên có 2 đồng vị (Miễn phí)

Theo quốc lộ 1A, tỉnh nào dài nhất Việt Nam? Người dân đi suốt cũng chưa chắc đã biết!

Học tiếng Anh qua Video song ngữ - Toomva.com